跳到主要内容

1.1 阵列观测模型与均匀线阵

在正式进入算法之前，我们需要先建立起用数学语言描述阵列系统的基本方式。本章的任务，就是搭建这套数学语言体系。

这一章涉及的概念不多，但每一个都很基础，后续章节的所有算法都建立在这些定义之上。同学们不必急着记住所有细节，先理解每个概念的物理直觉，公式自然就有了落脚点。

1.1 阵列观测模型与均匀线阵​

1.1.1 从单个天线到天线阵列​

先想一个最简单的情形：你手头只有一根天线，空间中有一个信号源正在发射信号。这根天线能接收到信号，告诉你"有信号"——但仅此而已。它无法告诉你信号从哪个方向来，因为一根全向天线对所有方向的响应是完全相同的，方向信息根本进不了观测数据。

怎么办？答案是多用几根天线，把它们按照某种空间排列组合起来，构成一个天线阵列（antenna array）。当一列平面波从某个方向入射时，它到达各根天线的时刻会略有先后，产生细微的时间差——或者等效地，产生各阵元之间的相位差（phase difference）。正是这个相位差，携带了信号的方向信息。阵列信号处理的任务，就是从这些相位差中反推出信号的来源方向。

阵列的几何形状可以有很多种：直线、圆形、平面、三维立体……本教程聚焦最基础、最常用的一种——均匀线阵（Uniform Linear Array，ULA）。

1.1.2 均匀线阵的几何结构​

顾名思义，均匀线阵是将 MM 个阵元沿一条直线等间距排列，相邻阵元之间的间距为 dd。我们把第一个阵元（编号为 m=1m = 1）的位置选作参考原点，则第 mm 个阵元位于坐标 (m−1)d(m-1)d 处，如下图所示。

阵元编号：  1      2      3    ...    M
位置坐标：  0      d      2d   ...   (M-1)d

这个结构简单得几乎令人觉得"太朴素了"。但恰恰是这种规则性，赋予了 ULA 两个非常好的性质：其一，各阵元之间的相位关系具有整齐的等差结构，数学上非常便于推导；其二，几乎所有经典 DOA 算法（MUSIC、ESPRIT 等）最初都是为 ULA 设计的，理论结果最为成熟。因此，ULA 是学习 DOA 估计的标准起点。

阵元间距 dd 的选取是有讲究的。工程上通常取 d=λ/2d = \lambda/2，其中 λ\lambda 是信号的波长。这一选择并非任意，它来自奈奎斯特采样定理在空间域的对应——以半波长间距采样，恰好能无混叠地覆盖 [−90°,90°][-90°, 90°] 的全部角度范围。如果 d>λ/2d > \lambda/2，就会出现空间混叠（spatial aliasing），不同方向的信号会产生完全相同的相位差，导致方向无法唯一确定。这一点我们在后续分析 MUSIC 算法时还会再回来讨论。

1.1.3 单个阵元的观测信号​

现在我们来建立数学模型。假设空间中有 KK 个信号源，第 kk 个信号源的入射方向（即与阵列法线方向的夹角）为 θk\theta_k，发射的复基带信号为 sk(t)s_k(t)。

什么是复基带信号？ 在通信和雷达中，信号通常是某个高频载波的调制结果。经过解调之后，我们提取出低频的复包络信号，称为复基带信号。它保留了原始信号的幅度和相位信息，但频率已降至零附近，便于数字处理。本教程中所有的 sk(t)s_k(t) 均指复基带信号。

由于信号源位于远场（far field），即信号源到阵列的距离远大于阵列孔径，入射波在阵列所在区域可以近似为平面波（plane wave）。这意味着波前是一个与传播方向垂直的平面，同一波前上各点的相位完全相同。

以第一个阵元为参考，平面波以角度 θk\theta_k 入射时，到达第 mm 个阵元的传播路程比第一个阵元多（或少）：

Δrm,k=(m−1)dsin⁡θk\Delta r_{m,k} = (m-1) d \sin\theta_k

这段路程差对应的时间延迟为：

τm,k=(m−1)dsin⁡θkc\tau_{m,k} = \frac{(m-1) d \sin\theta_k}{c}

其中 cc 是信号的传播速度（电磁波取光速，声波取声速）。在窄带假设下（我们将在 1.2 节详细说明），时间延迟可以等效为一个纯相位偏移。因此，第 kk 个信号源的信号到达第 mm 个阵元时，相比参考阵元附加了相位因子：

e−j2πλ(m−1)dsin⁡θk=ej(m−1)ψke^{-j \frac{2\pi}{\lambda}(m-1)d\sin\theta_k} = e^{j(m-1)\psi_k}

其中定义 ψk=2πdλsin⁡θk\psi_k = \frac{2\pi d}{\lambda}\sin\theta_k，称为空间频率（spatial frequency），它是 θk\theta_k 的一个函数，将角度信息"编码"进了相位。

考虑所有 KK 个信号源以及加性噪声，第 mm 个阵元接收到的信号为：

xm(t)=∑k=1Ksk(t) ej(m−1)ψk+nm(t)x_m(t) = \sum_{k=1}^{K} s_k(t)\, e^{j(m-1)\psi_k} + n_m(t)

其中 nm(t)n_m(t) 是第 mm 个阵元上的加性噪声，通常建模为零均值的复高斯白噪声。

1.1.4 矢量化：阵列观测模型​

单个阵元的方程很直观，但处理 MM 个阵元时，逐一写出 MM 个标量方程既繁琐又不利于矩阵运算。我们把所有阵元的观测值堆叠成一个 MM 维列向量：

x(t)=[x1(t), x2(t), ⋯ , xM(t)]⊤∈CM\mathbf{x}(t) = [x_1(t),\ x_2(t),\ \cdots,\ x_M(t)]^\top \in \mathbb{C}^{M}

类似地，定义信号向量 s(t)=[s1(t),s2(t),⋯ ,sK(t)]⊤∈CK\mathbf{s}(t) = [s_1(t), s_2(t), \cdots, s_K(t)]^\top \in \mathbb{C}^K 和噪声向量 n(t)=[n1(t),n2(t),⋯ ,nM(t)]⊤∈CM\mathbf{n}(t) = [n_1(t), n_2(t), \cdots, n_M(t)]^\top \in \mathbb{C}^M。

对于第 kk 个信号源，各阵元的相位因子可以整理为一个 MM 维向量：

a(θk)=[1, ejψk, ej2ψk, ⋯ , ej(M−1)ψk]⊤\mathbf{a}(\theta_k) = \left[1,\ e^{j\psi_k},\ e^{j2\psi_k},\ \cdots,\ e^{j(M-1)\psi_k}\right]^\top

这个向量描述了来自方向 θk\theta_k 的信号在各阵元上的响应分布，称为导向矢量（steering vector）。它是整个 DOA 理论中最核心的概念之一，我们将在 1.2 节专门深入讨论。

把 KK 个导向矢量并排拼成一个 M×KM \times K 的矩阵：

A(θ)=[a(θ1), a(θ2), ⋯ , a(θK)]\mathbf{A}(\boldsymbol{\theta}) = [\mathbf{a}(\theta_1),\ \mathbf{a}(\theta_2),\ \cdots,\ \mathbf{a}(\theta_K)]

这个矩阵称为阵列流形矩阵（array manifold matrix），它完整地描述了阵列对来自不同方向信号的响应规律。

于是，整个阵列的观测可以用一个简洁的矩阵方程统一表示：

x(t)=A(θ) s(t)+n(t)\boxed{\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}(\boldsymbol{\theta})\,\mathbf{s}(t) + \mathbf{n}(t)}

这就是阵列信号处理的基本观测模型，也是后续所有算法的出发点。它的物理含义非常清晰：阵列在某时刻的观测值 x(t)\mathbf{x}(t)，等于各路信号以其对应导向矢量为权重的叠加，再加上噪声。

1.1.5 用代码构造 ULA 的导向矢量​

理解了模型之后，我们来看看如何用 Python 实现它。以下代码构造一个 M=8M = 8 阵元、半波长间距的 ULA，并计算来自 θ=30°\theta = 30° 方向的导向矢量：

import numpy as np

# 阵列参数
M = 8           # 阵元数
d = 0.5         # 阵元间距（以波长为单位，d = λ/2）

def steering_vector(theta_deg, M, d):
    """
    计算 ULA 导向矢量
    参数：
        theta_deg : 入射角度（度）
        M         : 阵元数
        d         : 阵元间距（波长归一化）
    返回：
        a : 导向矢量，形状为 (M,)，复数
    """
    theta = np.deg2rad(theta_deg)
    # 空间频率 ψ = 2π·d·sin(θ)
    psi = 2 * np.pi * d * np.sin(theta)
    # 各阵元相位：[0, ψ, 2ψ, ..., (M-1)ψ]
    m = np.arange(M)
    a = np.exp(1j * m * psi)
    return a

# 示例：θ = 30°
a = steering_vector(30, M, d)
print("导向矢量（模值均为 1）：", np.abs(a))
print("导向矢量（相位，弧度）：", np.angle(a))

运行这段代码，你会发现导向矢量的每个分量模值均为 1，只有相位在递增——这正是平面波在等间距阵列上产生等差相位的体现。

1.1.6 小结​

本节建立了均匀线阵的基本几何结构，并推导出阵列观测的矩阵模型：

x(t)=A(θ) s(t)+n(t)\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}(\boldsymbol{\theta})\,\mathbf{s}(t) + \mathbf{n}(t)

其中，阵列流形矩阵 A\mathbf{A} 由各信号源方向对应的导向矢量拼成，它是连接"空间角度"与"阵列观测"的桥梁。DOA 估计的任务，本质上就是从观测数据 x(t)\mathbf{x}(t) 中反推出 A\mathbf{A} 的列向量所对应的角度 θ=[θ1,θ2,⋯ ,θK]⊤\boldsymbol{\theta} = [\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_K]^\top。

不过，这里还有一个关键问题我们还没有正面回答：导向矢量为什么可以用这种相位递进的形式表达？这背后依赖的是远场假设和窄带信号假设。这两个假设，正是下一节要重点讨论的内容。